Base ed esponente
aⁿ significa moltiplicare la base a per sé stessa n volte, quando n è un intero positivo.
✏️ Esempio3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
📘 Le potenze e i segni
La guida completa per capire le regole, vedere esempi svolti e allenarti con un quiz. Pensata per la scuola secondaria.
💡 Un consiglio: guarda prima la mappa, poi leggi le regole qui sotto. Ogni regola contiene un esempio da ripetere sul quaderno.
Attenzione: nella mappa illustrata la X rossa serve a distinguere i due casi, ma −6² = −36 è corretto. Il meno fuori dalle parentesi resta davanti al risultato.
01
Che cos’è una potenza?
02
Segni e parentesi
Base negativa, esponente pari
Con il meno dentro le parentesi e un esponente pari, il risultato è positivo.
✏️ Esempio(−6)² = (−6) × (−6) = 36
Base negativa, esponente dispari
Con il meno dentro le parentesi e un esponente dispari, il risultato è negativo.
✏️ Esempio(−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Meno fuori dalla potenza
Senza parentesi il segno meno non viene elevato alla potenza.
✏️ Esempio−6² = −(6²) = −36
Base positiva
Una base positiva elevata a un esponente intero non negativo dà un risultato positivo (se la base è maggiore di zero).
✏️ Esempio4³ = 64
03
Zero, uno e casi particolari
Esponente zero
Ogni base diversa da zero elevata a zero vale 1.
✏️ Esempio7⁰ = 1; (−3)⁰ = 1
Base zero
Zero elevato a un esponente intero positivo vale zero.
✏️ Esempio0⁵ = 0
Zero alla zero
0⁰ non si considera definito nell’aritmetica scolastica: non applicare la regola a⁰ = 1.
✏️ Esempio0⁰ → non definito
Base uno
Uno elevato a qualsiasi esponente vale uno.
✏️ Esempio1¹⁰⁰ = 1
Base meno uno
(−1) con esponente pari dà +1; con esponente dispari dà −1.
✏️ Esempio(−1)⁸ = 1; (−1)⁷ = −1
Esponente uno
Ogni numero elevato a uno rimane uguale a sé stesso.
✏️ Esempio(−9)¹ = −9
04
Le cinque proprietà fondamentali
Prodotto con la stessa base
Si conserva la base e si sommano gli esponenti: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
✏️ Esempio2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Quoziente con la stessa base
Si conserva la base e si sottraggono gli esponenti: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0).
✏️ Esempio5⁶ : 5⁴ = 5² = 25
Potenza di potenza
Si conserva la base e si moltiplicano gli esponenti: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
✏️ Esempio(3²)³ = 3⁶ = 729
Potenza di un prodotto
Si eleva ogni fattore: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
✏️ Esempio(2 · 3)² = 2² · 3² = 36
Potenza di un quoziente
Si elevano numeratore e denominatore: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ (b ≠ 0).
✏️ Esempio(6 : 2)³ = 6³ : 2³ = 27
04B
🧠 Come riconoscere la proprietà giusta?
Prima di calcolare, guarda che cosa è uguale: la base oppure l’esponente? Questa è la chiave per scegliere la regola corretta.
🔵 Stessa base, moltiplicazione
La base resta uguale e sommi gli esponenti. Stai unendo gruppi dello stesso numero.
Passaggio2³ × 2⁵ = 2⁽³⁺⁵⁾ = 2⁸
🟢 Stessa base, divisione
La base resta uguale e sottrai gli esponenti: i fattori uguali sopra e sotto si semplificano (base diversa da zero).
Passaggio2⁵ : 2³ = 2⁽⁵⁻³⁾ = 2²
🟠 Potenza di una potenza
Se una potenza è racchiusa fra parentesi ed è elevata a un'altra potenza, moltiplichi gli esponenti.
Passaggio(5²)³ = 5⁽²×³⁾ = 5⁶
🟣 Stesso esponente, moltiplicazione
Puoi moltiplicare le basi e mantenere l’esponente.
Passaggio5² × 3² = (5 × 3)² = 15²
🩷 Stesso esponente, divisione
Puoi dividere le basi e mantenere l’esponente (divisore diverso da zero).
Passaggio15² : 3² = (15 : 3)² = 5²
⚠️ Non confondere le operazioni
Le proprietà precedenti funzionano con moltiplicazioni e divisioni, non con addizioni o sottrazioni.
Controllo2³ + 2² = 8 + 4 = 12, non 2⁵
05
Altre regole utili
Potenze di dieci
10ⁿ è 1 seguito da n zeri, per n intero positivo.
✏️ Esempio10⁴ = 10 000
Esponenti negativi
Per a ≠ 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. È un approfondimento utile.
✏️ Esempio2⁻³ = 1/2³ = 1/8
Stessa base e stesso esponente
Attenzione: nelle somme e sottrazioni non puoi sommare o sottrarre gli esponenti.
✏️ Esempio2³ + 2² = 8 + 4 = 12
Parentesi e segno
Il meno fuori da una parentesi cambia il segno del valore che segue.
✏️ Esempio−(−3)² = −9; (−3)² = 9
06
Ordine delle operazioni
Ordine corretto
Prima le parentesi, poi le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra, infine addizioni e sottrazioni da sinistra a destra.
✏️ Esempio2 + 3² × 2 = 2 + 9 × 2 = 20
Divisioni consecutive
Moltiplicazioni e divisioni hanno la stessa priorità: procedi da sinistra a destra.
✏️ Esempio2¹⁰ : 2⁸ : 2¹ = 2² : 2 = 2
⚠️ Errori da evitare: (−4)² = +16 ma −4² = −16. Non usare le proprietà del prodotto o del quoziente sulle somme: 2³ + 2² non è 2⁵. Non dividere mai per zero. Ricorda che 0⁰ non è definito nelle regole scolastiche.
07
Numeri negativi: sommare e sottrarre senza paura
Immagina di camminare su una strada con lo zero al centro. A destra trovi i numeri positivi, a sinistra quelli negativi. La regola più importante è: aggiungere un numero positivo significa andare a destra; sottrarre un numero positivo significa andare a sinistra.
🔴 −8 − 7 = −15
Sei già a −8. Devi togliere altri 7: fai 7 passi a sinistra. Arrivi a −15. Sei ancora più lontana dallo zero.
Un modo per pensarciHai un debito di 8 € e ne aggiungi uno di 7 €: devi 15 €.
🟢 −8 + 7 = −1
Parti da −8 e aggiungi 7: fai 7 passi a destra. Arrivi a −1: sei quasi tornata allo zero.
Un modo per pensarciDevi 8 € e ne ricevi 7: ti manca ancora 1 €.
🔵 −8 + 10 = +2
Parti da −8 e fai 10 passi a destra. Passi per lo zero e arrivi a +2.
Un modo per pensarciDevi 8 € e ricevi 10 €: dopo aver saldato il debito ti restano 2 €.
👣 Prova a camminare sulla linea dei numeri
Scegli un'operazione: vedrai il punto di partenza, la direzione e il risultato.
Seleziona un'operazione per iniziare.
Trucchetto da ricordare: quando sommi due numeri negativi, sommi le distanze e mantieni il meno. Quando sommi un positivo e un negativo, confronta le distanze dallo zero: fai la differenza e usa il segno del numero con distanza maggiore. Attenzione: sottrarre un numero negativo equivale ad aggiungere il suo opposto: −8 − (−7) = −8 + 7 = −1.
🎯 Mettiti alla prova!
Una domanda alla volta. Ogni risposta viene spiegata; alla fine riceverai un giudizio.
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